オイラーの贈物

オイラーの贈物

第2部 関数の定義

第5章 テイラー展開

5-1 テイラー多項式
5-2 テイラー級数
5-3 一般の二項展開

この本を単なる高校数学の「アレンジ」で終わらせていない部分のもっともたるところだと思う。
ここを、うまいこと「カリキュラム」に導入しているから、「オイラーの公式」の証明にまでたどり着いている
という側面がある。
最短のコースで、微積分の取り扱いまでいって、
テイラー展開までいってしまう。この方法論で、高校生・中学生たちがどれくらいついていくのか、
興味のあるところ。
ここをしっかり読み直すと、後半部分の本書がとてもわかりやすくなってくる。
このテイラー展開は、「文字への、数のあてはめ」という当たり前の作業がやりにくい。
公式は、問題を眺めて、数値を代入していくことがポイントだけど。
こいつがやりにくい。

作業として、
まず、微分をN回繰り返す。
そのたびに、0を代入した微分係数を具体的に出す。
N次の係数として、算出した数字を当てはめていく。
Xに当てはめるものが、何かを、もう一度、見直していく。

「初等」なんだろうけど、きっと大事なステップなのだろうと、信じたい。
代入・当てはめの作業が複雑なだけだったら、それを、順序をおって、学習していけば、
テイラー展開だって、きっと超えられる。


初期の無名のGoogleがどうやって世界中の天才を集めたか - My Life After MIT Sloan

それから、話は流れて、Googleの話になる。
まだ全く無名だったGoogleが世界中からアルゴリズムの天才たちをどうやって集めたか、という話だ。

Woojaeは1999年頃、イギリスのケンブリッジ大学の博士課程に留学しており、研究のため物理の研究室にいた。
その時、同じ研究室に、15歳でインドからハーバード大学に留学し、飛び級して7年で博士号まで取得し、22歳にしてケンブリッジ大でポスドクをやっていた天才がいたと言う。
大学では、金属の表面にショックを与えたときに起こる振動を、数値的に計算するアルゴリズムを開発していた。

物理数学が得意な人とコンピュータプログラミングのスキルが、とても相性がいいということの、強烈な傍証になっている。

「振動」を数式に載せるということを理解することからこの話は始まるわけだが、こういった話に対して、具体的におそらくこんな流れの話だろうということが
この「オイラーの贈り物」を読了した後にはきっと、わかるはずだ。いや、そんなだいそれたことをいってはいけない。でも、「想像」することはできるはずだ。

彼の研究室が入っていた建物の隣は、理論物理の建物があった。
そこには、車椅子の天才、宇宙物理学者ホーキングの研究室がある。
当時ホーキングの研究室には5人の大学院生がいたそうで、彼らはケンブリッジ大学でも誉れ高い、「選ばれた天才」だった。

宇宙の研究に物理学をバリバリ使うという人たちのフォローも、かれこれ2年ほど、東北大学の学生のブログを通じて、実行しておりました。

推奨教科書・参考書

ホーキング研究室の大学院生は、ホーキングが頭で考えている数式を、
彼の表情や彼が操作するジョイスティックで示されるカタコトの言葉を頼りに、
黒板に板書し、ともに議論することが出来る才能を持っている必要があった。

そういうコミュニケーション能力があることと、その数式を理解することには、段差がある。
どんな凡人でも、その数式をきちんと書かれた形で読んで、理解することができるはずだ。
という仮説があるかもしれない。

ようするに、物理数学というカリキュラムを使いこなせればいいのでしょ。

「天才」という言葉を使って片付けることは、簡単だ。

でも、その内実を、丹念に探ることだって、やってみても面白いかもしれない。
Googleの起業理念って、いきつくところ、そういうことがどんな人にでも開かれることなんじゃないのか。
だから、僕は、こうやって、ゲームプログラミングという切り口を通して、もう一度、理工系の学びを
再現している。
高校生のときにとめてしまった、風景。
時間をもう一度、戻すために。

Woojaeも、このGoogleのモデルには大分影響されたそうで、
彼がいまMITにいるのも、ベンチャーキャピタリストとして、次世代の技術で成功する企業を作るためには、「天才学生」とのネットワークが非常に大切だと考えているからだ。

wikipedia:スティーヴン・ホーキング
以下のホーキングのページに飛ぶと、彼が書いた論文のリストにもたどり着ける。
彼が書いた論文を読みこなせるようになるまでのスキルって、一体何かという考え方が必要だと思う。
彼らは、ビジネスマンだ。
ビジネスマンである以上、「ビジネススキル」というものがある。
それを、体系的に学習できればいい。
Stephen Hawking - Home

Stephen Hawking was born to Dr. Frank Hawking, a research biologist, and Isobel Hawking. He had two younger sisters, Philippa and Mary and an adopted brother, Edward. Though Hawking's parents were living in North London, they moved to Oxford while Isobel was pregnant with Stephen, desiring a safer location for the birth of their first child (London was under attack at the time by the Luftwaffe). According to Hawking, a German V-2 missile struck only a few streets away.

パパは、生物学の研究者。ドイツ空軍の空襲とかが、バコンバコンしていたのを、子供心に覚えているとさ。

After Hawking was born, the family moved back to London, where his father headed the division of parasitology at the National Institute for Medical Research. In 1950, Hawking and his family moved to St Albans in Hertfordshire where he attended St Albans High School for Girls from 1950 to 1953. (At that time, boys could attend the Girls school until the age of 10.From the age of 11, he attended St Albans School, where he was a good, but not exceptional, student. When asked later to name a teacher who had inspired him, Hawking named his Mathematics teacher, Dikran Tahta.

イギリスの特種な教育制度により、ホーキングは、「女子高」に在籍していた。成績は、中の上。インスパイアされたのは、数学の先生だったそうです。

He maintains his connection with the school, giving his name to one of the four houses and to an extracurricular science lecture series. He has visited to deliver one of the lectures and has also granted a lengthy interview to pupils working on the school magazine, The Albanian.
Hawking was always interested in science. He enrolled at University College, Oxford with the intent of studying mathematics, although his father would have preferred he go into medicine. Since mathematics was not offered at University College, Hawking instead chose physics. His interests during this time were in thermodynamics, relativity, and quantum mechanics. His physics tutor, Robert Berman, later said in The New York Times Magazine:
It was only necessary for him to know that something could be done, and he could do it without looking to see how other people did it. [...] He didn't have very many books, and he didn't take notes. Of course, his mind was completely different from all of his contemporaries.
Hawking was passing, but his unimpressive study habits resulted in a final examination score on the borderline between first and second class honours, making an "oral examination" necessary. Berman said of the oral examination:
And of course the examiners then were intelligent enough to realize they were talking to someone far more clever than most of themselves.
After receiving his B.A. degree at Oxford University in 1962, he stayed to study astronomy. He decided to leave when he found that studying sunspots, which was all the observatory was equipped for, did not appeal to him and that he was more interested in theory than in observation. He left Oxford for Trinity Hall, Cambridge, where he engaged in the study of theoretical astronomy and cosmology.

どうも、一足はやく大学で数学の講義を聞こうとしていた模様。でも、やっていなかったから、物理学の講義を聴講することに。
お父さんは、子供を医者にしたがっていた。はまったのは、熱力学、相対性理論量子力学。物理学の家庭教師は、Robert Berman。
学部で勉強したのは、天文学。

Technical
Singularities in Collapsing Stars and Expanding Universes with Dennis William Sciama, 1969 Comments on Astrophysics and Space Physics Vol 1 #1
The Nature of Space and Time with Roger Penrose, foreword by Michael Atiyah, New Jersey: Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-05084-8
The Large Scale Structure of Spacetime with George Ellis, 1973 ISBN 0521099064
The Large, the Small, and the Human Mind, (with Abner Shimony, Nancy Cartwright, and Roger Penrose), Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56330-5 (hardback), ISBN 0-521-65538-2 (paperback), Canto edition: ISBN 0-521-78572-3
Information Loss in Black Holes, Cambridge University Press, 2005
God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History, Running Press, 2005 ISBN 0762419229

wikipedia:Perimeter Institute for Theoretical Physics

ISSYP
The International Summer School for Young Physicists (ISSYP) is an outreach program that brings groups of fifty high school students at a time to learn about cutting-edge theoretical physics.
Students are housed at the University of Waterloo, and spend hours each day with Perimeter's researchers, learning through interaction with their peers as well as from keynote speeches by prominent physicists.
The program teaches both mathematics and physics in core sessions, and offers an introduction to the research experience through mentoring sessions with researchers at the institute. Keynote talks have come from both post-doctoral researchers and long-term researchers at the institute, including Lee Smolin and Fotini Markopoulou-Kalamara. Students have been introduced to topics such as: black holes, quantum space-time, string theory, spin networks, quantum computing, and quantum mechanics interpretations.
Since its creation in 2003, the program has expanded from a group of twenty students from across Canada to two separate groups of fifty students each, from six continents around the world, in 2006.
82 students from 6 continents participated in ISSYP 2008. Besides studying the concepts involved in quantum physics, special relativity, general relativity and black holes, participants also visited various tourist attractions within Toronto and Ontario. Such attractions have included the CN Tower, and Niagara Falls.

もちろん、千里の道も一歩からという言葉は、知っています。
書いていて、はずかしくなりますが。
ときには、そんな夢も持ちたくなるのです。
それぐらい、許してください。